Jednowymiarowe, nieliniowe przepływy w ośrodkach porowatych
Autor: M. Sławomirski

W artykule rozważono jednowymiarowe przepływy w ośrodku porowatym nie podlegające prawu Darcy’ego.

Korzystając ze znanego z literatury uzasadnienia teoretycznego opartego na teorii homogenizacji, a także danych empirycznych autor przyjął nieliniową relację między prędkością fi ltracji u i gradientem ciśnienia grad P.

Rozważono przepływ prostoliniowy przez ośrodek jednorodny, przepływy prostoliniowe przez ośrodek uwarstwiony, przepływ radialny w sąsiedztwie pojedynczego odwiertu oraz przepływ o symetrii sferycznej.

Wykazano, że nieliniowe równanie (9) może być zastosowane w sposób efektywny do opisu nieliniowego przepływu w ośrodku porowatym, a równania opisujące rozmaite przypadki jednowymiarowego przepływu nieliniowego mogą być rozwiązane metodami analitycznymi.

Rozwiązania analityczne wykorzystują często wzory Cardana na pierwiastki równania sześciennego. We wszystkich rozważanych przypadkach wyróżnik równania jest dodatni.

Równania te mają wówczas trzy pierwiastki, z których dwa są zespolone i nie posiadają sensu fizykalnego, natomiast trzeci, rzeczywisty pierwiastek, stanowi właściwe rozwiązanie zagadnienia. Wykazano, że dla nieliniowego przepływu prostoliniowego prędkość filtracji u zależna jest od spadkuciśnienia P w sposób nieliniowy, podany formułą (15). Przy przepływie przez ośrodek uwarstwiony założono, że każda z warstw posiada właściwą dla siebie miąższość hi oraz parametry ośrodka Ki, ß i, a ośrodek może być traktowany jako anizotropowy o symetrii odpowiadającej układowi heksagonalnemu.

Rozważono dwa przypadki prostoliniowego przepływu przez ośrodek uwarstwiony: przepływ w kierunku równoległym do płaszczyzny warstw oraz przepływ w kierunku prostopadłym do płaszczyzny warstw.

W pierwszym przypadku natężenie przepływu jest sumą wydatków przez poszczególne warstwy (równ. (17), (18)).

Dla drugiego przypadku autor uzyskał nieliniową zależność między prędkością fi ltracji u, całkowitym spadkiem ciśnienia oraz wartościami średnich harmonicznych parametrów Ki dla poszczególnych warstw. Zależność ta ma postać nieliniową i dana jest ona równaniem (34). Wagami w średnich harmonicznych są miąższości poszczególnych warstw hi oraz wartości parametru ośrodka ßi dla poszczególnych warstw.

W przepływie nieliniowym przepuszczalność zastępcza pakietu złożonego z warstw porowatych nie jest średnią harmoniczną przepuszczalności poszczególnych warstw jak to ma miejsce w przypadku przepływu Darcy’ego.

Rozważono przepływ radialny w otoczeniu pojedynczego odwiertu. Wykazano, że rozkład ciśnienia w strefie drenażu P(r) ma postać sumy funkcji typu logarytmicznego oraz funkcji zawierającej ujemną drugą potęgę odległości od promienia odwiertu r. Rozkład ciśnienia podany jest w postaci wzoru (49).

Ponadto zależność między wielkością depresji w strefi e drenażu Pe – Pw a wydatkiem odwiertu Q ma postać wielomianu trzeciego stopnia danego formułą (51). Wzór na wydatek pojedynczego odwiertu uzyskano w postaci wyrażenia (55). Jest ono znacznie bardziej skomplikowane od znanego wzoru dla radialnego przepływu Darcy’ego.

Rozważono też przepływ o symetrii sferycznej. Wykazano, że rozkład prędkości fi ltacji u(r) dany jest wówczas równaniami (58), (70), a rozkład ciśnienia ma postać sumy funkcji zawierających wyrażeniaz ujemnymi potęgami całkowitymi (równ. (72)).