Pierwsza poprawka do liniowego prawa darcy'ego w świetle teorii homogenizacji oraz eksperymentów

Autorzy: K. Cieślicki, A. Lasowska

Pracę poświęcono teoretyczno-eksperymentalnemu określeniu nieliniowej korekcji prawa Darcy'ego w zakresie przepływów laminarnych.

Powszechnie za taką korekcję uważa się kwadratowy względem prędkości filtracji, addytywny składnik występujący w stosowanym od 1901 r. fenomenologicznym wzorze Forchheimera.

Dla teoretycznego określenia charakteru zależności pomiędzy spadkiem ciśnienia w pojedynczym segmencie kanału periodycznego o falistej granicy a natężeniem przepływu cieczy w zakresie małych liczb Re wykorzystano teorię homogenizacji.

U podstaw teorii leży założenie istnienia dwóch dobrze separowalnych charakterystycznych wymiarów / oraz L spełniających relację (1). Oba wymiary / i L odpowiadają dwom bezwymiarowym zmiennym przestrzennym x oraz X zwanym odpowiednio zmienną mikroskopową i zmienną makroskopową.

Przepływ cieczy w rozważanym kanale jest w mikroskali dwuwymiarowy i periodyczny (4), natomiast w makroskali jest jednowymiarowy i odpowiada przepływowi w rurze z niezmiennym wzdłuż osi polem prędkości i stałym gradientem ciśnienia.

Skala mikroskopowa odzwierciedla charakterystyczny wymiar segmentu.

Skala makroskopowa jest rzędu długości całego modelu.

Dokonując rozwinięcia w szereg (2) pola prędkości v i ciśnienia p, wstawiając je do bezwymiarowych równań (6) i (7) otrzymano dla rosnących potęg parametru E ciągi równań, z których można wyznaczyć kolejne wyrazy rozwinięć.

Rozwinięcie zakończono na wyrazie pozwalającym określić pierwszą niezerową poprawkę do liniowego prawa Darcy'ego. Okazało się, że nie jest nią składnik kwadratowy względem prędkości filtracji - jak to wynikało ze wzoru Forchheimera, lecz sześcienny.Współczynnik kwadratowego składnika L dany przez (37) zeruje się wskutek periodycz-ności pola prędkości.

Wynika stąd jednocześnie, że opory hydrauliczne przepływu w kanale dla małych wartości liczby Reynoldsa wzrastają kwadratowo, zgodnie z wzorem (46). Brak składnika kwadratowego zapewnia asymptotyczną stosowalność prawa Darcy'ego w zakresie małych wartości prędkości filtracji.

W drugiej części pracy eksperymentalnie potwierdzono przydatność równania (46) do aproksymacji charakterystyk przepływowych osiowo symetrycznych, periodycznych modeli o różnych wymiarach wnęk przedstawionych na rysunku (Fig. 2).

Stwierdzono, że zarówno zakres stosowalności, jak i wielkość współczynnika przy sześciennym członie korekcyjnym jest funkcją geometrycznej struktury modeli. Ilustrują to wykresy zależności oporu hydraulicznego od wydatku przepływu lub liczby Reynoldsa przedstawione na rysunkach: Fig. 4, Fig. 5, Fig. 6. Liczbę Reynoldsa liczono w oparciu o średnicę zwężenia i średnią prędkość w zwężeniu. Jednocześnie zaobserwowano, że przedmiotowa poprawka obowiązuje w znacznie większym zakresie liczb Re, niżby to wynikało z założeń poczynionych przy wyprowadzaniu równiania.

Powyżej pewnej prędkości filtracji (liczby Re) składnik korekcyjny staje się kwadratowy, wyznaczając drugą (Forchheimera) laminarną strefę przepływu (Fig. 3, Fig. 4, Fig. 5). Dla nadania fizykalnej interpretacji stwierdzonych zależności przeprowadzono cząsteczkową wizualizację linii przepływu prądu w pojedynczych segmentach badanych modeli.

Stwierdzono, że strefie obowiązywania sześciennej poprawki do prawa Darcy'ego towarzyszą duże zmiany geometrycznych form przepływu sprowadzające się do redukcji rdzenia przepływu i wzrostu udziału przepływu recyrkulacyjnego następujące ze wzrostem prędkości filtracji.

W strefie obowiązywania poprawki kwadratowej zmiany rdzenia przepływu są niezauważalne (Cieślicki & Lasowska, 1995a), (Lasowska, 1996).